DOI: https://doi.org/10.20998/2078-9130.2019.2.190273

До розрахунку вільних коливань дисипативного осцилятора з нелінійною пружністю

V. P. Olshanskiy

Анотація


Викладено наближений спосіб обчислення амплітуд вільних затухаючих коливань осцилятора, що має у виразі пружної характеристики нелінійний степеневий доданок, при дії сили лінійного в’язкого опору. Метод не потребує побудови розв’язку нелінійного диференціального рівняння руху і ґрунтується на відомому положенні по те, що обвідна графіка вільних затухаючих коливань дисипативного осцилятора Дуффінга наближено описується експоненціальною функцією, такою як і в лінійного осцилятора. Виходячи з цього положення, розрахунок амплітуд затухаючих коливань осцилятора зі степеневою нелінійністю в виразі пружності ,де є також лінійний доданок, зведено до рекурентних співвідношень. У випадку жорсткої силової характеристики в співвідношення входить двохзначна функція Ламберта від’ємного аргументу, де використана її перша гілка. Для м’якої силової характеристики рекурентне співвідношення має функцію Ламберта додатного аргументу, яка однозначна. З метою спрощення числової реалізації одержаних аналітичних розв’язків, рекомендовано використовувати відомі таблиці цієї спеціальної функції, а в випадку малих за модулем значень аргументу – запропоновану апроксимацію її елементарними функціями. Щоб надати інформацію про фактичні похибки запропонованого способу розрахунку, розглянуто приклади, де проведено порівняння результатів, до яких він призводить, з результатами числового комп’ютерного інтегрування диференціального рівняння руху осцилятора, для випадків квадратичної та кубічної нелінійностей. Задовільна узгодженість результатів порівняння підтвердила придатність використання запропонованого способу в інженерних розрахунках.

Ключові слова


нелінійний осцилятор; амплітуда затухаючих коливань; в’язкий опір; степенева нелінійність жорсткості; функція Ламберта; рекурентне співвідношення

Повний текст:

PDF

Посилання


Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asimtoticheskiye metody v teorii nelineynykh kolebaniy [Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations]. Moscow: Nauka. 1974. 504 p.

Vasilenko M.V., Alekseychuk O.M. Teoriya kolyvan i stiykosti rukhu [Theory of oscillations and stability of motion]. Kiev: High School. 2004. 525 p.

Stocker J. Nelineynyye kolebaniya v mekhanicheskikh i elektricheskikh sistemakh [Nonlinear Oscillations in Mechanical and Electrical Systems]. Moscow: Il, 1953. 258 p.

Vibratsii v tekhnike. Spravochnik v shesti tomakh [Vibration in technology. Handbook in six volumes]. T. 2. Oscillations of nonlinear mechanical systems; edited by I.I. Blekhman. Moscow: Engineering, 1979. 351 p.

Panovko Ya.G. Vvedeniye v teoriyu mekhanicheskikh kolebaniy [Introduction to the theory of mechanical vibrations]. Moscow: Nauka, 1980. 270 p.

Olshanskiу V.P., Olshanskiу S.V., Tishchenko L.N. Kolyvannya dysypatyvnykh ostsylyatoriv [Dissipative oscillator oscillations]. Kharkiv: Miskdruk. 2015. 116 p.

Olshanskiу V.P., Tishchenko L.N., Olshanskiу S.V. Dynamika dysypatyvnykh ostsylyatoriv [Dynamics of Dissipative Oscillators]. Kharkiv: Miskdruk. 2016. 264 p.

Olshanskiу V.P., Olshanskiу S.V. Funktsiya Lamberta v zadachakh ballistiki material'noy tochki [The Lambert function in ballistic problems of a material point]. Kharkiv: Publisher Savchuk V.O., 2013. 204 p.

Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralom, sumy ryadov i proizvedeniy [Tables by integral, sums of series and products]. Moscow: Nauka, 1962. 1100 p.

Abramovits M., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami) [Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables)]. Moscow: Science. 1979. 832 p.

Janke E., Jemde F., Ljosh F. Special'nye funkcii [Special functions]. Moscow: Nauka. 1977. 344 p.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974. 504 с.

2. Василенко М.В, Алексейчук О.М. Теорія коливань і стійкості руху. Київ: Вища школа, 2004. 525 с.

3. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. Москва: Ил, 1953. 258 с.

4. Вибрации в технике. Справочник в шести томах. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / под редакцией И.И. Блехмана. Москва: Машиностроение, 1979. 351 с.

5. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. Москва : Наука, 1980. 270 с.

6. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В., Тіщенко Л.М. та ін. Коливання дисипативних осциляторів. Харків: Міськдрук, 2015. 116 с.

7. Ольшанський В.П., Тіщенко Л.М., Ольшанський С.В. Динаміка дисипативних осциляторів. Харків: Міськдрук, 2016. 264 с.

8. Ольшанский В.П., Ольшанский С.В. Функция Ламберта в задачах баллистики материальной точки. Харків: Издатель Савчук В.О., 2013. 204 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралом, сумы рядов и произведений. Москва: Наука, 1962. 1100 с.

10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами). Москва: Наука, 1979. 832 с.

11. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва: Наука, 1977. 344 с.