DOI: https://doi.org/10.20998/2078-9130.2017.39.115768

Коливання квадратично-нелінійного осцилятора, спричинені імпульсним навантаженням

V. P. Olshanskiy, S. V. Olshanskiy

Анотація


Розглянуто механічні коливання нелінійного осцилятора, у якого відновлююча сила пропорційна квадрату деформації пружини. Рух спричинений або миттєво прикладеною силою сталої величини або прямокутним силовим імпульсом скінченної тривалості. Побудовано два варіанти аналітичного розв’язку нелінійної задачі Коші для неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. В першому переміщення осцилятора у часі виражено через еліптичний косинус Якобі, що дає можливість обчислювати їх за допомогою відомих таблиць. У другому для розрахунку переміщень, задіяно Ateb-синус. Запропоновано апроксимації, які з похибкою меншою одного відсотка, подають Ateb-синус в елементарних функціях. Показано, що коефіцієнт динамічності у розглянутого осцилятора менший двох. Він залежить від тривалості дії прямокутного силового імпульсу. Знайдена тривалість дії сили, коли досягається максимальний ефект розгойдування вільних коливань розвантаженого осцилятора. Вона залежить не тільки від параметрів осцилятора, а й від значення прикладеної сили, що не властиво лінійним системам. Наведено приклади розрахунків та відповідні графіки.

Ключові слова


нелінійний осцилятор; дія силового імпульсу; аналітичний розв’язок; еліптичний косинус; Ateb-синус

Повний текст:

PDF

Посилання


Larin A. A. Ocherki istorii razvitija teorii mehanicheskih kolebanij. Sevastopol: Veber, 2013. 403 p.

Avramov K. V., Mihlin Ju. V. Nelinejnaja dinamika uprugih sistem. Tom 1: Modeli, metody, javlenija. Moscow-Izhevsk: Institut komp'juternyh issledovanij, 2010. 704 p.

Kuznecov A. P., Ryskin N. M. Nelinejnye kolebanija. Moscow: Fizmatlit, 2002. 292 p.

Mitropol's'kij Ju. A. Izbrannye trudy v 2-h tomah. Kyyiv: Naukova dumka, 2012. 504 p.

Pukach P. Ja. Jakіsnі metodi doslіdzhennja nelіnіjnih kolival'nih sistem. L'vіv: L'vіvs'ka polіtehnіka, 2014. 288 p.

Cveticanin L. A rewiew on dynamics of mass variable system. Journal of the Serbian Society for Computational Machanics. 2012. Vol. 6, No 1. РР. 56-74.

Olshanskiy V. P., Olshanskiy S. V. Metod VBK v raschetah nestacionarnyh kolebanij oscilljatora. Kharkiv: Mіs'kdruk, 2014. 264 p.

Olshanskiу V. P., Olshanskiy S. V., Tishenko L. M. Dinamіka disipativnih osciljatorіv. Kharkiv: Mіs'kdruk, 2016. 264 p.

Prudnikov A. P., Brychkov A., Marichev O. I. Integraly i rjady. Jelementarnye funkcii. Moscow: Nauka, 1981. 800 p.

Janke E., Jemde F., Ljosh F. Special'nye funkcii. Moscow: Nauka, 1977. 344 p.

Abramovits A., Stigan I. Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables). Moscow: Science, 1979. 832 p.

Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (for scientific workers and engineers). Moscow: Science, 1974. 832 p.

Gricik V. V., Nazarkevich M. A. Matematichnі modelі algoritmіv і realіzacіja Ateb-funkcіj. Dopovіdі Nacіonal'noї akademії nauk Ukraїni. Kyyiv: 2007. No 12. PP. 37-42.

Sokіl B. І. Pro zastosuvannja Ateb-funkcіj dlja pobudovi rozvjazkіv dejakih rіvnjan', jakі opisujut' nelіnіjnі kolivannja odnovimіrnih seredovishh. Dopovіdі Nacіonal'noї akademії nauk Ukraїni. Kyyiv: 1997. No 1. PP. 55-58.

Olshanskiy V. P., Burlaka V. V., Spipchenko M. V., Malets O. M. About the collusion of the oscillator in a quadratically-nonlinear confinement. Technical services of the agro-industrial, forest and transport complex. Kharkiv: 2017. No 8. РР. 177-185.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Ларин А. А. Очерки истории развития теории механических колебаний / А. А. Ларин. – Севастополь: Вебер, 2013. – 403 с.

2. Аврамов К. В. Нелинейная динамика упругих систем / К. В. Аврамов, Ю. В. Михлин // Том 1: Модели, методы, явления. – М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2010. – 704 с.

3. Кузнецов А. П. Нелинейные колебания / А. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин. – М. : Физматлит, 2002. – 292 с.

4. Митропольський Ю. А. Избранные труды в 2-х томах / Ю. А. Митопольский. – К.: Наукова думка, 2012. – 504 с.

5. Пукач П. Я. Якісні методи дослідження нелінійних коливальних систем / П. Я. Пукач. – Львів: Львівська політехніка, 2014. – 288 с.

6. Cveticanin L. A rewiew on dynamics of mass variable system / L. Cveticanin // Journal of the Serbian Society for Computational Machanics. – 2012. – Vol. 6, № 1. – Рр. 56-74.

7. Ольшанский В. П. Метод ВБК в расчетах нестационарных колебаний осцилляторов / В. П. Ольшанский, С. В. Ольшанский. – Х.: Міськдрук, 2014. – 264 с.

8. Ольшанський В. П. Динаміка дисипативних осциляторів / В. П. Ольшанський, С. В. Ольшанський, Л. М. Тіщенко. – Х.: Міськдрук, 2016. – 264 с.

9. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев // Элементарные функции. – М.: Наука, 1981. – 800 с.

10. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. – М. : Наука, 1977. – 344 с.  

11. Абрамовиц А. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами) / А. Абрамовиц, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с.

12. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1974. – 832 с.

13. Грицик В. В. Математичні моделі алгоритмів і реалізація Аteb-функцій / В. B. Грицик, М. А. Назаркевич // Доповіді Національної академії наук України. – К.: 2007. – № 12. – С. 37-42.

14. Сокіл Б. І. Про застосування Аteb-функцій для побудови розв’язків деяких рівнянь, які описують нелінійні коливання одновимірних середовищ / Б. І. Сокіл // Доповіді Національної академії наук України. – К.: 1997. – № 1. – С. 55-58.

15. Ольшанський В. П. Про коливання осцилятора з квадратично-нелінійною жорсткістю / В. П. Ольшанський, В. В. Бурлака, М. В. Спіпченко, О. М. Малець // Технічний сервіс агропромислового, лісового та транспортного комплексів. – Х.: 2017. – № 8. – С. 177-185.