Про коливання осцилятора з кубічно-нелінійною жорсткістю
Ключові слова:
кубічно-нелінійний осцилятор, вільні коливання, еліптичний косинус, Ateb-функції, їх апроксимаціяАнотація
Розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що відновлююча сила пружини пропорційна кубу її деформації. Задіяно дві форми аналітичного розв’язку нелінійного диференціального рівняння. В першій формі розв’язок виражено через еліптичний косинус, а в другий – через періодичні Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівноваги або початкової швидкості (миттєвого імпульса) в цьому положенні. Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Ateb-функцій.Посилання
Avramov K.V., Mikhlin Yu.V. Nelineynaya dinamika uprugikh sistem T.1. Modeli, metody, yavleniya [Nonlinear dynamics of elastic systems. T.1. Models, methods, phenomena]. Moscow-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2010. 704 p.
Pukach P.Ya. Yakisni metody doslidzhennya neliniynykh kolyval'nykh system [Qualitative methods of nonlinear vibration systems]. L'viv: L'vivs'ka politekhnika, 2014. 288 p.
Larin A.A. Ocherki istorii razvitiya terii mekhanicheskikh kolebaniy [Essays on the history of the development of the theory of mechanical oscillations]. Sevastopol': Veber, 2013. 403 p.
Hrytsyk V.V., Nazarkevych M.A. Matematychni modeli alhorytmiv i realizatsiya Ateb-funktsiyi [Mathematic models of algorithms and realizations of Ateb-functions]. Dopovidi Natsional'noyi akademiyi nauk Ukrayiny. 2007. No 12. PP. 37-42.
Yanke E., Emde F., Lesh F. Spetsial'nye funktsii [Special functions]. Moscow: Nauka, 1977. 344 p.
Panovko Ya.G. Osnovy prikladnoy teorii kolebaniy i udara [Fundamentals of Applied theory of vibrations and shock]. Leningrad: Mashinostroenie, 1976. 320 p.
Abramovits A., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsam) [Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables)]. Moscow: Nauka, 1979. 832 p.
Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike (dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov) [A handbook on mathematics (for scientists and engineers)]. Moscow: Nauka, 1974. 832 p.
Senyk P.M. Pro Ateb-funktsiyi [About Ateb-function]. Dopovidi AN URSR, ser. A. 1968. No 1. PP. 23-27.
Voznyy A.M. Zastosuvannya Ateb-funktsiy dlya pobudovy rozv"yazku odnoho klasu istotno neliniynykh dyferentsial'nykh rivnyan'[Application Ateb-function solution for building a class of essentially nonlinear differential equations]. Dopovidi AN URSR, ser. A. 1970. No 9. PP. 971-974.
Sokil B.I. Pro zastosuvannya Ateb-funktsiy dlya pobudovy rozv"yazkiv deyakykh rivnyan', yaki opysuyut' neliniyni kolyvannya odnovymirnykh seredovyshch [About Ateb-use features for building solutions of some equations describing nonlinear oscillations of one-dimensional environments]. Dopovidi Natsional'noyi akademiyi nauk Ukrayiny. 1997. No 1. PP. 55-58.
