Динаміка осцилятора з квадратичною нелінійністю у виразі сили пружності, навантаженого ступінчастим імпульсом

Анотація

Описано нестаціонарні коливання осцилятора з квадратичною нелінійністю у виразі сили пружності при дії миттєво прикладеної сталої сили. Аналітичний розв’язок нелінійного диференціального рівняння другого порядку виражено через періодичні еліптичні функції Якобі. Показано, що коефіцієнт динамічності нелінійної системи залежить від значення миттєво прикладеної сили і напряму її дії, оскільки характеристика пружності системи несиметрична. Якщо сила спрямована в бік додатніх переміщень, то характеристика системи «жорстка» і коефіцієнт динамічності знаходиться в проміжку , тобто він менший, ніж у лінійної системи. У випадку, коли сила спрямована в бік від’ємних переміщень, характеристика пружності системи «м’яка» і коефіцієнт динамічності попадає в проміжок (2; 3), тобто він більший ніж у лінійної системи. У другому випадку деформування існують статичне і динамічне критичні значення сили, перевершення яких призводить до втрати стійкості системи. Динамічне критичне значення сили менше, ніж статичне. Оскільки переміщення осцилятора виражаються через функції Якобі, запропонована формула наближеного їх обчислення з використанням таблиці повного еліптичного інтегралу першого роду. Наведено результати розрахунків, які ілюструють можливості викладеної теорії. Для порівняння, паралельно з використанням аналітичних розв’язків, проводилось чисельне комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння руху. Збіжність результатів розрахунку двома способами підтвердила адекватність виведених формул, які придатні також для аналізу руху квадратично нелінійного осцилятора з симетричною характеристикою пружності. Таким чином, розглянута нелінійна задача має аналітичний розв’язок в еліптичних функціях, а процес руху залежить від того, в який бік діє зовнішня сила. Крім того, при дії сили в бік меншої жорсткості можлива втрата стійкості системи.

Ключові слова: нелінійний осцилятор, квадратична нелінійність, ступінчастий силовий імпульс, еліптичні функції Якобі.

Описано нестационарные колебания осциллятора с квадратичной нелинейностью в выражении силы упругости при действии мгновенно приложенной постоянной силы. Аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения второго порядка выражено через периодические эллиптические функции Якоби. Показано, что коэффициент динамичности нелинейной системы зависит от значения мгновенно приложенной силы и направления ее действия, поскольку характеристика упругости системы несимметричная. Если сила направлена в сторону положительных перемещений, то характеристика системы «жесткая» и коэффициент динамичности находится в промежутке , то есть он меньший, чем у линейной системы. В случае, когда сила направлена в сторону отрицательных перемещений, характеристика упругости системы «мягкая» и коэффициент динамичности попадает в промежуток (2, 3), то есть он больший, чем в линейной системы. Во втором случае деформирования существуют статическое и динамическое критические значения силы, превышение которых приводит к потере устойчивости системы. Динамическое критическое значение силы меньше, чем статическое. Поскольку перемещение осциллятора выражаются через функции Якоби, предложенная формула приближенного их вычисления с использованием таблицы полного эллиптического интеграла первого рода. Приведены результаты расчетов, которые иллюстрируют возможности изложенной теории. Для сравнения, параллельно с использованием аналитических решений, проводилось численное компьютерное интегрирование дифференциального уравнения движения. Сходимость результатов расчета двумя способами подтвердила адекватность выведенных формул, которые годятся также для анализа движения квадратично нелинейного осциллятора с симметричной характеристикой упругости. Таким образом, рассмотренная нелинейная задача имеет аналитическое решение в эллиптических функциях, а процесс движения зависит от того, в какую сторону действует внешняя сила. Кроме того, при воздействии силы в сторону меньшей жесткости возможна потеря устойчивости системы.

Ключевые слова: нелинейный осциллятор, квадратичная нелинейность, ступенчатый силовой импульс, эллиптические функции Якоби.