Аналітичний розв'язок задачі вільних коливань квадратично нелінійного осцилятора з сухим тертям

Анотація

Елементи конструкцій при експлуатації можуть піддаватись динамічним навантаженням, що призводить до виникнення коливань, які можуть привести до небезпечних станів. Дисипативні коливання є небезпечними за несиметрії характеристики пружності. В даній роботі описано вільні затухаючі коливання дисипативного осцилятора з несиметричною квадратично нелінійною характеристикою пружності, при наявності сухого тертя Кулона. Метою дослідження є виведення точних формул для обчислення переміщень осцилятора в часі та визначення розмахів коливань і тривалостей напівциклів, які залежать від амплітуд із-за нелінійності системи. Перший інтеграл рівняння руху виражено в елементарних функціях, а другий – в еліптичних функціях Якобі. З першим інтегралом пов’язано обчислення розмахів коливань, а з другим – переміщення осцилятора в часі. Показано, що із-за несиметрії пружної характеристики процес вільних коливань залежить від того в який бік було надано стартове відхилення системі від положення статичної рівноваги. Тривалості напівциклів виражено через повні еліптичні інтеграли першого роду. Одержаний розв'язок зберігає форму і при відсутності в системі сухого тертя, коли система консервативна, а розмахи коливань у бік протилежний початковому відхиленню можуть бути більші ніж початкове відхилення. Виведені формули для першого циклу коливань легко поширити на любий цикл коливань. Запропоновано компактну наближену формулу для обчислення значень еліптичного синуса. Проведено порівняння переміщень, одержаних з її використанням в аналітичних розв’язках і чисельним інтегруванням вихідного диференціального рівняння на комп’ютері. Одержано гарну узгодженість результатів розрахунку двома способами, чим підтверджена вірогідність формул. Їх практична реалізація потребує обчислень повних еліптичних інтегралів першого роду, що не складно здійснювати інтерполяцією табличних даних, що надруковані в багатьох виданнях із спеціальних функцій.