Аналітичний розв'язок задачі вільних коливань квадратично нелінійного осцилятора з сухим тертям

Автор(и)

  • Vasyl Pavlovych Olshanskiy
  • Maksym Volodimirovich Slipchenko
  • Oleksandr Ivanovich Spolnik

DOI:

https://doi.org/10.20998/2078-9130.2020.2.219641

Ключові слова:

точний аналітичний розв'язок, квадратично нелінійна пружність, сухе тертя, переміщення у часі, еліптичні функції Якобі, еліптичні інтеграли першого роду

Анотація

Елементи конструкцій при експлуатації можуть піддаватись динамічним навантаженням, що призводить до виникнення коливань, які можуть привести до небезпечних станів. Дисипативні коливання є небезпечними за несиметрії характеристики пружності. В даній роботі описано вільні затухаючі коливання дисипативного осцилятора з несиметричною квадратично нелінійною характеристикою пружності, при наявності сухого тертя Кулона. Метою дослідження є виведення точних формул для обчислення переміщень осцилятора в часі та визначення розмахів коливань і тривалостей напівциклів, які залежать від амплітуд із-за нелінійності системи. Перший інтеграл рівняння руху виражено в елементарних функціях, а другий – в еліптичних функціях Якобі. З першим інтегралом пов’язано обчислення розмахів коливань, а з другим – переміщення осцилятора в часі. Показано, що із-за несиметрії пружної характеристики процес вільних коливань залежить від того в який бік було надано стартове відхилення системі від положення статичної рівноваги. Тривалості напівциклів виражено через повні еліптичні інтеграли першого роду. Одержаний розв'язок зберігає форму і при відсутності в системі сухого тертя, коли система консервативна, а розмахи коливань у бік протилежний початковому відхиленню можуть бути більші ніж початкове відхилення. Виведені формули для першого циклу коливань легко поширити на любий цикл коливань. Запропоновано компактну наближену формулу для обчислення значень еліптичного синуса. Проведено порівняння переміщень, одержаних з її використанням в аналітичних розв’язках і чисельним інтегруванням вихідного диференціального рівняння на комп’ютері. Одержано гарну узгодженість результатів розрахунку двома способами, чим підтверджена вірогідність формул. Їх практична реалізація потребує обчислень повних еліптичних інтегралів першого роду, що не складно здійснювати інтерполяцією табличних даних, що надруковані в багатьох виданнях із спеціальних функцій.

Посилання

Vasilenko M.V., Alekseychuk O.M. Teoriya kolyvan i stiykosti rukhu [Theory of oscillations and stability of motion]. Kyyiv, High School. 2004. 525 p.

Olshanskiy V, Olshanskiy S., Slipchenko M.V. On free oscillations of a quadratic nonlinear ascillation. Ukrainaian journal of mechanical engineersng and matarials science. 2017. V.3, No 2. P. 1-11.

Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M. Tablitsyi integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Nauka. 1962. 1100 p.

Abramovits A., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam (s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami) [Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables)]. Moscow: Science. 1979. 832 p.

Yanke, E., Emde, F., Lesch, F. Spetsialnyie funktsii [Special functions]. Moscow: Nauka. 1977. 344 p.

Olshanskiу V.P., Olshanskiу S.V. Analitychnyj rozvyazok zadachi pruzhnogo udaru konusa po pivprostoru [Analytical solution of the problem of elastic impact of a cone on a half-space]. Bulletin of NTU "KhPI". Series: Dynamics and strength of machines. 2019. No 1. P. 40-45.

Olshanskiy V.P., Olshanskiy S.V. Pro efekt nesymetriyi sylovoyi harakterystyky kolyvalnoyi systemy pry mehanichnomu udari [On the effect of asymmetry of the force characteristic of an oscillating system during mechanical impact]. Vibrations in engineering and technology. 2018. No 2 (89). P. 36-40.

Olshanskiу V.P., Olshanskiу S.V. Pro dynamichnyj efekt nesymetriyi sylovoyi harakterystyky kolyvalnoyi systemy pry impulsnomu navantazhenni [On the dynamic effect of asymmetry of the force characteristic of an oscillatory system under pulse loading]. Bulletin of NTU "KhPI". Series: Dynamics and strength of machines. 2018. No 33 (1309). P. 33-36.

##submission.downloads##

Опубліковано

2020-10-09