Коливання, які описує модифіковане рівняння Релея

Анотація

В статті досліджено варіанти коливального руху, який буде описувати відоме рівняння Релея, що відіграло важливу роль при моделюванні автоколивань, після заміни в ньому знаку дисипативної сили та введення там замість третього ступеня нелінійності довільного невід’ємного показника. Методом енергетичного балансу встановлено, що змінене таким чином рівняння руху, в залежності від значення показника нелінійності, може описувати різні варіанти коливань. Так рух зводиться до квазілійних автоколивань, коли показник ступеня менший одиниці. Їх амплітуда в усталеному режимі не залежить від початкових умов. Якщо показник степеня дорівнює одиниці, то лінійне рівняння може описувати усталені гармонічні коливання з амплітудою, що дорівнює початковому відхиленню системи від положення рівноваги або вільні коливання зі змінними розмахами. В залежності від знаку дисипативної сили розмахи або спадають або зростають з плином часу за експоненціальним законом. У другому випадку осцилятор втрачає стійкість. Якщо показник нелінійності у виразі дисипативної сили більший одиниці, то при «малих» початкових відхиленнях видозмінене рівняння описує вільні затухаючі коливання відносно нульового положення, а при «великих» стартових відхиленнях – коливання зі зростанням розмахів. Стійкий рух, спричинений «малим» стартовим збуренням, замінюється на втрату стійкості системи при «великих» збуреннях. Ці можливості рівняння типу Релея випливають не тільки із одержаних наближених аналітичних розв’язків, а також підтверджені чисельним інтегруванням модифікованого рівняння на комп’ютері. За підсумками такого інтегрування побудовано графіки коливань при різних варіантах руху. Вони стосуються конкретних розрахункових параметрів осциляторів і задовільно узгоджуються з результатами обчислень, за методом енергетичного балансу.