DOI: https://doi.org/10.20998/2078-9130.2019.1.187417

Аналітичний розв’язок узагальненої задачі пружного удару твердих тіл

V. P. Olshanskiyy

Анотація


Аналітичний розв’язок узагальненої задачі механічного удару двох пружних тіл обертання в постановці Г. Герца виражено через періодичний Ateb-синус і його степені. Виведено формули для розрахунку зміни у часі зближення центрів мас тіл, сили ударної взаємодії, радіуса площадки контакту та тиску в її центрі. Одержано компактні формули максимумів вказаних величин, які досягаються в кінці процесу динамічного стискання тіл. Виведена також формула тривалості удару в часі. Відзначено, що тривалість залежить від порядку граничних поверхонь тіл, підданих удару. Для врахування місцевих контактних деформацій тіл в зоні їх взаємодії використано узагальнений розв’язок осесиметричної контактної задачі теорії пружності, побудований І.Я. Штаєрманом для випадку, коли тверді тіла обмежені поверхнями, що мають порядок більший другого. Показано, що із одержаних теоретичних результатів, які стосуються щільного дотику тіл, підданих удару, як окремий випадок, випливають відомі класичні результати, одержані Г. Герцем. Отримано формулу визначеного інтегралу від степені Ateb-синуса, що виражає ударний імпульс. Розглянуто приклад пружного удару тіл, одне з яких обмежене поверхнею четвертого порядку. Для обчислення значень Ateb-синуса рекомендовано використовувати його апроксимацію елементарними функціями. Показано, що числові результати, одержані за допомогою аналітичного розв’язку, з використанням цієї апроксимації, добре узгоджується з результатами числового інтегрування рівняння удару на комп’ютері. Досліджено вплив геометричних характеристик граничних поверхонь на розрахункові параметри удару, що відбувається з невеликою початковою швидкістю. Враховуючи симетрію характеристик пружного удару, відносно часу їх максимумів, для розрахунку процесу динамічного розтискання тіл, рекомендовано використовувати аналітичні розв’язки, побудовані для етапу стискання тіл. Викладена теорія стосується виключно пружного удару, коли динамічне стискання не призводить до появи пластичних деформацій. Це накладає суттєве обмеження на початкову швидкість удару.

Ключові слова


пружний контактний удар; місцеві деформації; граничні поверхні високих порядків; аналітичний розв’язок; Ateb-синус і його апроксимація елементарними функціями

Повний текст:

PDF

Посилання


Goldsmith W. Impact. Theory and physical properties of the colliding bodies. Moscow: Stroyizdat, 1965. 447 p.

Panovko Y.G. Introduction to the theory of mechanical shock. Moscow: Nauka, 1977. 223 p.

Kilchevsky N.A. Theory of solid collisions. Kyyiv: Naukova Dumka, 1969. 247 p.

Kilchevsky N.A. Dynamic contact compression of solids. Blow. Kyyiv: Naukova Dumka, 1976. 319 p.

Olshanskiy V.P., Olshanskiy S.V. Ateb-sine in solving the Hertz problem. Bulletin of NTU «KhPI». Series: Mathematical modeling in engineering and technologies. Kharkiv: NTU «KhPI», 2018. No 3 (1279). P. 98-103.

Shtaerman I.Ya. Contact problem of the theory of elasticity. Moscow-Leningrad: Gostekhizdat, 1949. 272 p.

Gricik V.V., Nazarkevich M.A. Matematichnі modelі algoritmіv і realіzacіja Ateb-funkcіj. Dopovіdі Nacіonal'noї akademії nauk Ukraїni. Kyyiv: 2007. No 12. P. 37-42.

Pukach P.Ya. Qualitative methods for the investigation of nonlinear oscillation systems. Lviv: Lviv Polytechnic, 2014. 288 p.

Abramovits М., Stigan I. Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables). Moscow: Science, 1979. 832 p.

Janke E., Jemde F., Ljosh F. Special'nye funkcii. Moscow: Nauka, 1977. 344 p.

Olshanskiy V.P., Olshanskiy S.V. On the motion of an oscillator with a power characteristic of elasticity. Vibrations in technics and technologies: All-Ukrainian scientific and technical journal. Vinnytsya, 2017. No 3 (86). Р. 34-40.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. Москва: Стройиздат, 1965. 447 с.

2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. Москва: Наука, 1977. 223 с.

3. Кильчевский Н.А. Теория соударений твердых тел. Киев: Наукова думка, 1969. 247 с.

4. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. 319 с.

5. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В. Ateb-синус у розвязку задачі Герца про удар. Вісник НТУ «ХПІ». Серія : Математичне моделювання в техніці та технологіях. Харків: НТУ «ХПІ», 2018. № 3 (1279). С. 98-103.

6. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Москва-Ленинград: Гостехиздат, 1949. 272 с.

7. Грицик В.В., Назаркевич М.А. Математичні моделі алгоритмів і реалізація Аteb-функцій. Доповіді Національної академії наук України. Київ, 2007. № 12. С. 37-42.

8. Пукач П.Я. Якісні методи дослідження нелінійних коливань систем. Львів : Львівська політехніка, 2014. 288 с.

9. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами). Москва: Наука, 1979. 832 с.

10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва: Наука, 1977. 344 с.

11. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В. Про рух осцилятора зі степеневою характеристикою пружності. Вібрації в техніці та технологіях: Всеукраїнський науково-технічний журнал. Вінниця, 2017. № 3 (86). С. 34-40.