Нестаціонарні коливання миттєво навантаженого осцилятора в умовах нелінійного опору

Анотація

Розглянуто рух осцилятора, миттєво навантаженого сталою силою в умовах нелінійного зовнішнього опору, складовими якого є квадратичний в’язкий опір, сухе та позиційне тертя. Використовуючи перший інтеграл рівняння руху та функцію Ламберта, виведено компактні формули для обчислень розмахів коливань. З метою спрощення пошуку значень функції Ламберта наведено асимптотичні формули, які з похибкою меншою одного відсотка виражають цю спеціальну функцію через елементарні функції. Показано, що внаслідок дії сили опору, що включає сухе тертя, процес коливань має скінченну кількість циклів і обмежений у часі, бо осцилятор попадає в область застою, яка знаходиться в околі статичного відхилення осцилятора, спричиненого прикладеною зовнішньою силою. Коефіцієнт динамічності системи менший двох. Розглянуто приклади розрахунків, що ілюструють можливості викладеної теорії. Крім аналітичного дослідження, проведено чисельне комп’ютерне інтегрування, диференціального рівняння руху. Встановлено повну збіжність результатів, одержаних за допомогою виведених формул і чисельним інтегруванням, чим підтверджено, що використовуючи аналітичні розв’язки можна без чисельного інтегрування нелінійного диференціального рівняння визначати екстремальні переміщення осцилятора. Для спрощення розрахунків рекомендована також література, де надруковано таблиці функції Ламберта, що дають можливість знаходити її значення інтерполяцією табличних даних. В умовах нелінійного зовнішнього опору, складовими якого є квадратичний в’язкий опір, сухе та позиційне тертя процес коливань миттєво навантаженого осцилятора має обмежену кількість циклів. Отримані у роботі залежності з використанням функції Ламберта дають можливість визначати розмахи коливань без чисельного інтегрування нелінійного диференціального рівняння руху як для осцилятора з квадратичним в’язким опором і сухим тертям, так і для осцилятора з квадратичним опором та позиційним і сухим тертям.

Ключові слова: : нелінійний осцилятор, миттєве навантаження, квадратичний в’язкий опір, функція Ламберта, розмахи коливань.

Рассмотрены движение осциллятора, мгновенно нагруженного постоянной силой в условиях нелинейного внешнего сопротивления, составляющими которого являются квадратичное вязкое сопротивление, сухое и позиционное трения. Используя первый интеграл уравнения движения и функцию Ламберта, выведены компактные формулы для вычислений размахов колебаний. С целью упрощения поиска значений функции Ламберта, приведены асимптотические формулы, которые с погрешностью менее одного процента выражают эту специальную функцию через элементарные функции. Показано, что в результате действия силы сопротивления, включая сухое трение, процесс колебаний имеет конечное число циклов и ограничен во времени, поскольку осциллятор попадает в область застоя, которая находится в окрестности статического отклонения осциллятора, вызванного приложенной внешней силой. Коэффициент динамичности системы менее двух. Рассмотрены примеры расчетов, иллюстрирующие возможности изложенной теории. Кроме аналитического исследования, проведено численное компьютерное интегрирования, дифференциального уравнения движения. Установлено полную сходимость результатов, полученных с помощью выведенных формул и численным интегрированием, чем подтверждено, что используя аналитические решения можно без численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения определять экстремальные перемещения осциллятора. Для упрощения расчетов рекомендуется также литература, где напечатано таблицы функции Ламберта, позволяющие находить ее значение интерполяции табличных данных. В условиях нелинейного внешнего сопротивления, составляющими которого являются квадратичный вязкое сопротивление, сухое и позиционное трения процесс колебаний мгновенно нагруженного осциллятора имеет ограниченное число циклов. Полученные в работе зависимости с использованием функции Ламберта дают возможность определять размахи колебаний без численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения движения как для осциллятора с квадратичным вязким сопротивлением и сухим трением, так и для осциллятора с квадратичным сопротивлением и позиционным и сухим трением.

Ключевые слова: нелинейный осциллятор, мгновенное нагружение, квадратичное вязкое сопротивление, функция Ламберта, размахи колебаний.