DOI: https://doi.org/10.20998/2078-9130.2019.1.187416

Аналітичний розв’язок задачі пружного удару конуса по півпростору

V. P. Olshanskiy, S. V. Olshanskiy

Анотація


З використанням основних положень теорії Г. Герца про механічний удар твердих тіл розглянуто динамічну взаємодію пружного конуса з пружним півпростором, обмеженим плоскою поверхнею. Досліджено випадок, коли вісь конуса обертання перпендикулярна до границі півпростору, а початковою точкою контакту тіл є вершина конуса. Для опису місцевих деформацій тіл в зоні їх взаємодії використано відомий розв’язок вісесиметричної статичної контактної задачі теорії пружності, побудований І.Я. Штаєрманом. Задача співудару тіл зведена до диференціального рівняння другого порядку з квадратичною нелінійністю. Одержано дві форми аналітичного розв’язку цієї нелінійної задачі Коші. В першій використано Ateb-синус, а в другій – еліптичний косинус. Встановлено рівнозначність отриманих форм розв’язку, тобто можливість заміни однієї форми на іншу. Для обчислення значень Ateb-синуса методом лінійної інтерполяції подана спеціальна таблиця, а також запропонована аналітична апроксимація його елементарними функціями. Показана узгодженість результатів, до яких призводять ці два способи наближеного розрахунку значень Ateb-синуса. Виведена також наближена формула для обчислення значень еліптичного косинуса і підтверджена її вірогідність. За результатами розв’язання задачі удару отримано формули, що описують зміну у часі: зближення центрів мас тіл, сили ударної взаємодії, радіуса кругової площадки контакту та контактного тиску. Відзначено, що тиск нескінченний в центрі площадки, де вершина конуса контактує з півпростором. Проведено порівняння результатів, до яких призводять дві аналітичні форми розв’язку та числове комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння стискання тіл, підданих удару. Встановлена гарна узгодженість числових результатів, одержаних різними способами. Досліджено вплив кута конусності на основні параметри динамічної взаємодії тіл. Показано, що збільшення кута конусності тіла, яке вдаряє, призводить до зменшення максимального динамічного стискання тіл і тривалості їх взаємодії та до зростання максимума сили удару при сталому значенні її імпульсу. Наведено числовий приклад розрахунку, де матеріалом конічного тіла вибрано сталь, а матеріалом нерухомого півпростору – гуму. Задачі такого типу виникають при розрахунках параметрів удару куска мінеральної сировини по футерованому гумою валку вібраційного класифікатора.

Ключові слова


механічний удар; пружне конічне тіло; пружний півпростір; теорія Г. Герца; аналітичний розв’язок; Ateb-синус; еліптичний косинус

Повний текст:

PDF

Посилання


Goldsmith W. Impact. Theory and physical properties of the colliding bodies. Moscow: Stroyizdat, 1965. 447 p.

Kilchevsky N.A. Dynamic contact compression of solids. Blow. Kyyiv: Naukova Dumka, 1976. 319 p.

Panovko Y.G. Introduction to the theory of mechanical shock. Moscow: Nauka, 1977. 223 p.

Olshanskiy V.P., Olshanskiy S.V. Ateb-sine in solving the Hertz problem. Bulletin of NTU «KhPI». Series: Mathematical modeling in engineering and technologies. Kharkiv: NTU «KhPI», 2018. № 3 (1279). P. 98-103.

Shtaerman I.Ya. Contact problem of the theory of elasticity. Moscow-Leningrad: Gostekhizdat, 1949. 272 p.

Gricik V.V., Nazarkevich M.A. Matematichnі modelі algoritmіv і realіzacіja Ateb-funkcіj. Dopovіdі Nacіonal'noї akademії nauk Ukraїni. Kyyiv, 2007. № 12. P. 37-42.

Pukach P.Ya. Qualitative methods for the investigation of nonlinear oscillations of systems. Lviv: Lviv Polytechnic, 2014. 288 p.

Abramovits A., Stigan I. Handbook of special functions (with formulas, graphs and mathematical tables). Moscow: Science, 1979. 832 p.

Janke E., Emde F., Lesch F. Special functions. Moscow: Nauka, 1977. 344 p.

Prudnikov A.P., Brychkov Ju.A., Marichev O.I. Integraly i rjady. Jelementarnye funkcii. Moscow: Nauka, 1981. 800 p.

Olshanskiу V.P., Burlaka V.V., Slipchenko M.V., Malets O.M. On fluctuation oscillator with square nonlinear stiffness. Technical service of agroindustrial, forestry and transport complexes. Kharkiv: KhNTUSG, 2017. No. 8. P. 177-185.

Olshanskiу V.P., Olshanskiу S.V. On the motion of an oscillator with a power characteristic of elasticity. Vibrations in technology and technologies: All-Ukrainian scientific and technical journal. Vinnytsya, 2017. № 3 (86). Р. 34-40.

Gradstein I.S., Rugik I.M. Table of integrals, sums, rows and works. Moscow: Science, 1962. 1100 p.

Naduty V.P., Yagnyukov V.F., Yagnyukova I.V. Interaction of pieces of material with a lined roll of a vibration classifier. Vibrations in technology and technologies: All-Ukrainian scientific and technical journal. Vinnytsya, 2014. № 13 (73). Р. 94-99.


Пристатейна бібліографія ГОСТ


1. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. Москва: Стройиздат, 1965. 447 с.

2. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. 319 с.

3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. Москва: Наука, 1977. 223 с.

4. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В. Ateb-синус у розвязку задачі Герца про удар. Вісник НТУ «ХПІ». Серія : Математичне моделювання в техніці та технологіях. Харків: НТУ «ХПІ», 2018. № 3 (1279). С. 98-103.

5. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Москва-Ленинград: Гостехиздат, 1949. 272 с.

6. Грицик В.В., Назаркевич М.А. Математичні моделі алгоритмів і реалізація Аteb-функцій. Доповіді Національної академії наук України. Київ: 2007. № 12. С. 37-42.

7. Пукач П.Я. Якісні методи дослідження нелінійних коливань систем. Львів: Львівська політехніка, 2014. 288 с.

8. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и математическими таблицами). Москва: Наука, 1979. 832 с.

9. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва: Наука, 1977. 344 с.

10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Москва: Наука, 1981. 800 с.

11. Ольшанський В.П., Бурлака В.В., Сліпченко М.В., Малець О.М. Про коливання осцилятора з квадратично-нелінійною жорсткістю. Технічний сервіс агропромислового, лісового та транспортного комплексів. Харків: ХНТУСГ, 2017. № 8. С. 177-185.

12. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В. Про рух осцилятора зі степеневою характеристикою пружності. Вібрації в техніці та технологіях: Всеукраїнський науково-технічний журнал. Вінниця, 2017. № 3 (86). С. 34-40.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Наука, 1962. 1100 с.

14. Надутый В.П., Ягнюков В.Ф., Ягнюкова И.В. Взаимодействие кусков материала с футерованным валком вибрационного классификатора. Вібрації в техніці та технологіях: Всеукраїнський науково-технічний журнал. Вінниця, 2014. № 1 (73). С. 94-99.