МОДЕЛЮВАННЯ ПРОГИНУ КОНСОЛЬНОЇ БАЛКИ МІКРОЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДІЕЛЕКТРИЧНИМ ШАРОМ МЕТОДОМ ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ

Анотація

Проведено дослідження математичної моделі нелінійної статики в мікроелектромеханічних системах (МЕМС), а саме розв’язано нелінійну крайову задачу, що описує стаціонарний прогин пружної консольної балки під дією електростатичних сил. Особливу увагу приділено сучасним архітектурам МЕМС, де на нерухомий електрод нанесено тонкий діелектричний шар, що модифікує електростатичну силу та утворює нелінійний доданок зі специфічною сингулярністю у диференціальному рівнянні четвертого порядку. Метою роботи є розробка та обґрунтування високоточного методу розв’язання вказаної крайової задачі з гарантованим контролем похибки. Запропоновано використати для дослідження задачі метод двобічних наближень, який базується на апараті теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах та застосуванні функції Гріна. Вихідну крайову задачу з умовами вільного лівого та жорстко закріпленого правого кінців балки зведено до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна у просторі неперервних функцій. Доведено додатність та ізотонність відповідного нелінійного інтегрального оператора. У просторі неперервних функцій виділено конус невід’ємних функцій та побудовано інваріантний конусний відрізок, який є апріорною оцінкою невідомого точного розв’язку. Сформульовано та доведено теорему про існування та єдиність додатного розв’язку досліджуваної крайової задачі на побудованому конусному відрізку. Конструктивно розроблено ітераційний алгоритм, який на кожному кроці генерує гарантовану двобічну оцінку – проміжні верхнє та нижнє наближення, що монотонно збігаються до точного розв’язку. Встановлено умови двобічної збіжності алгоритму. Завдяки доведеній монотонності інтегрального оператора розроблений метод забезпечує строгий контроль абсолютної похибки на кожному етапі обчислень, ефективно усуваючи ключові недоліки традиційних сіткових, спектральних і проєкційних методів. Проведено обчислювальний експеримент для заданих фізичних параметрів балки та діелектричного шару, що довів високу швидкість збіжності запропонованого методу. Виконано порівняльний аналіз із результатами, що отримані за допомогою модифікованого методу декомпозиції Адомяна (MADM). Встановлено наявність відхилень у наближених розв’язках MADM, які зумовлені специфікою усічення нескінченного ряду та неможливістю точно оцінити залишок. Результати методу двобічних наближень можуть слугувати надійною базою для безпосередньої верифікації розв’язків, отриманих іншими методами. Отримані результати мають вагоме практичне значення для надійного проєктування складних пристроїв МЕМС (радіочастотних перемикачів, сенсорів, мікродзеркал тощо) та дозволяють мінімізувати похибки на ранніх стадіях розробки.