ВЕКТОРНО-МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ДИСКРЕТНИХ НЕГОЛОНОМНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ У ПСЕВДОКООРДИНАТАХ І КВАТЕРНІОНАХ

Автор(и)

  • Андрєєв Юрій Михайлович Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», Україна https://orcid.org/0000-0003-3213-8496
  • Головня Олексій Олександрович Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», Україна https://orcid.org/0009-0000-4465-3474

DOI:

https://doi.org/10.20998/2078-9130.2025.2.347534

Ключові слова:

неголономні, псевдокоординати, кватерніони, динаміка, робототехніка, принцип д'Аламбера-Лагранжа, форма Коші, КіДиМ

Анотація

Стаття розглядає актуальні питання моделювання динаміки неголономних механічних систем, які широко застосовуються в сучасній робототехніці. Актуальність цієї теми зумовлена швидким розвитком складних робототехнічних пристроїв, таких як сферичні роботи та мобільні роботи на колесах, які зазвичай містять неголономні обмеження типу кочення без ковзання. Традиційні методи на основі узагальнених координат зазвичай призводять до громіздких рівнянь, які ускладнюють автоматизацію обчислень та аналіз керування механічних систем. У статті запропоновано більш ефективний підхід, який полягає у використанні псевдокоординат та псевдошвидкостей та кватерніонів. Даний підхід значно спрощує опис динамічних характеристик систем, зменшує порядок рівнянь і базується на аналітичній комп'ютерній реалізації. Запропоновано двоетапний алгоритм: спочатку будуються рівняння руху для голономної системи на основі векторно-матричній форми принципу д'Аламбера-Лагранжа, а потім виконується їх приведення до псевдокоординат за допомогою спеціальної матриці похідних залежних узагальнених швидкостей за псевдошвидкостями, що отримується комп’ютерним аналітичним диференціюванням рівнянь неголономних в’язей. Такий спосіб дозволяє автоматично отримати рівняння мінімальної розмірності та привести їх до нормальної форми Коші, яка є зручною для чисельного інтегрування. Для тестування запропонованого алгоритму було використано спеціальну систему комп'ютерної алгебри КіДиМ, яка призначена для кінематичних і динамічних розрахунків складних механічних систем. Було продемонстровано ефективність підходу на класичному прикладі кочення кулі в сферичні поверхні, де неголономні обмеження природно враховуються через псевдошвидкості. Для наочного представлення результатів розрахунків було використано кватерніон орієнтації кулі і на його підставі розраховано кути Крилова за оригінальною методикою. Було обґрунтовано, що застосування псевдокоординат і псевдошвидкостей дозволяє отримати суттєво більш прості динамічні рівняння, а використання кватерніону знімає проблеми вироджуваності обернених кінематичних рівнянь. Це відкриває нові можливості для моделювання та керування сучасними робототехнічними пристроями.

Посилання

  1. Diouf A., Belzile B., Saad M., St-Onge D. Spherical rolling robots — Design, modeling, and control: A systematic literature review. Robotics and Autonomous Systems, vol. 175, 104657. – https://doi.org/10.1016/j.robot.2024.104657.
  2. Atay S., Bryant M., Buckner G. The Spherical Rolling-Flying Vehicle: Dynamic Modeling and Control System. Journal of Mechanisms and Robotics, vol. 13, no. 5, 050901. – https://doi.org/10.1115/1.4050831.
  3. Schröder K., Garcia G., Chacón R., Montenegro G., Marroquín A., Farias G., Dormido-Canto S., Fabregas E. Development and Control of a Real Spherical Robot. Sensors, vol. 23, no. 8, 3895 – https://doi.org/10.3390/s23083895
  4. He B., Xu F., Zhang P. Kinematics approach to energy efficiency for non-holonomic underactuated robotics in sustainable manufacturing. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 119, pp. 1123–1138. – https://doi.org/10.1007/s00170-021-08305-7.
  5. Mirtaheri S. M., Zohoor H. Quasi-velocities definition in Lagrangian multibody dynamics. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 235, no. 20, pp. 4679–4691 – https://doi.org/10.1177/0954406221995852
  6. Andrieiev Yu. M., Dziuba V. L. Udoskonalenyi alhorytm rozviazannia obernenykh zadach dynamiky robototekhnychnykh prystroiv u SSKA KiDyM [Improved algorithm for solving inverse problems of dynamics of robotic devices in SCAS KiDyM]. Visnyk NTU «KhPI». Seriia: Dynamika ta mitsnist mashyn, 2023, no. 2, pp. 34–40 – https://doi.org/10.20998/2078-9130.2023.2.293010
  7. Andrieiev Y., Breslavsky D., Shabanov H., Naumenko K., Altenbach H. Solution to the Inverse Problem of the Angular Manipulator Kinematics with Six Degrees of Freedom. Applied Sciences, vol. 15, no. 5, 2840. – https://doi.org/10.3390/app15052840
  8. Golubev Yu. F. Algebra kvaternionov v kinematike tverdogo tela [Algebra of quaternions in rigid body kinematics]. Preprinty IPM im. M. V. Keldysha, no. 39, 23 p.
  9. Andrieiev Yu. M., Lavinsky D. V., Druzhynin Ye. I. Teoretychne obgruntuvannia dlia praktychnoi realizatsii analitychnogo komp'iuternogo pobuduvannia dynamichnykh rivnian' v psevdokoordinatakh kerovanogo pol'otu BPLA [Theoretical justification for the practical implementation of analytical computer construction of dynamic equations in pseudocoordinates of controlled UAV flight]. Visnyk NTU «KhPI». Seriia: Dynamika ta mitsnist mashyn. Kharkiv: NTU «KhPI», 2025, no. 1, pp. 12–20. – https://doi.org/10.20998/2078-9130.2025.1.332027
  10. Chitour Y., Godoy Molina M., Kokkonen P. The rolling problem: overview and challenges. In: Geometric Control Theory and Sub-Riemannian Geometry. Springer INdAM Series, vol. 5. Cham: Springer, pp. 103–122 – https://doi.org/10.1007/978-3-319-02132-4_7
  11. Bloch A., Marsden J., Zenkov D. Quasivelocities and symmetries in non-holonomic systems. Dynamical Systems, vol. 24, no. 2, pp. 187–222 – https://doi.org/10.1080/14689360802609344
  12. Balseiro P., Sansonetto N. First integrals and symmetries of nonholonomic systems. Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 244, pp. 343–389 – https://doi.org/10.1007/s00205-022-01753-9
  13. Jarzębowska E. Quasi-coordinates based dynamics modeling and control design for nonholonomic systems. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 71, pp. 118–131. 131 – https://doi.org/10.1016/j.na.2008.10.049
  14. Phillips J. R., Amirouche F. Kane's equations for nonholonomic systems in bond-graph-compatible velocity and momentum forms. Proceedings of the 10th ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics, pp. 1–12 – https://doi.org/10.3311/ECCOMASMBD2021-171
  15. Colombo L., León M., López-Gordón A. Contact Lagrangian systems subject to impulsive constraints. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 55, no. 42, 425001425001 – https://doi.org/10.1088/1751-8121/ac96de.
  16. Bai Q.-S., Shehata M., Nada A. Review study of using Euler angles and Euler parameters in multibody modeling of spatial holonomic and non-holonomic systems. International Journal of Dynamics and Control, vol. 10, pp. 1707–1725 – https://doi.org/10.1007/s40435-022-00913-9
  17. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Kachenie odnorodnogo shara po dinamicheski nesimmetrichnoi sfere [Rolling of a homogeneous ball over a dynamically asymmetric sphere]. Nelineinaya dinamika, vol. 6, no. 4, pp. 869–889.
  18. Neimark Yu. I., Fufaev N. A. Dinamika negolonomnykh sistem [Dynamics of nonholonomic systems]. Moscow: Nauka, Gl. red. fizmat. lit., 1967. 520 p.

##submission.downloads##

Опубліковано

2025-12-29

Як цитувати

Андрєєв, Ю., & Головня, О. (2025). ВЕКТОРНО-МАТРИЧНІ РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ДИСКРЕТНИХ НЕГОЛОНОМНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ У ПСЕВДОКООРДИНАТАХ І КВАТЕРНІОНАХ. Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Серія: Динамiка та мiцнiсть машин, (2), 115–126. https://doi.org/10.20998/2078-9130.2025.2.347534

Номер

№ 2 (2025): Вісник НТУ "ХПІ" Серія: "Динаміка та міцність машин"

Розділ

Статті

Ліцензія

Авторське право (c) 2025 Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Серія: Динамiка та мiцнiсть машин

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.